Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）若，求的單調區間；

（2）若，求的極大值；

（3）若，指出的零點個數.

Answer 1

【答案】（1） 的單調減區間為 ；（2） 的極大值為 （3） 時， 的零點個數為0；當 時， 的零點個數為1.

【解析】試題分析：（1）求導函數，解不等式（或）即可求解；（2）求導后分析導數何時取正，何時取負，當在處左正右負時， 即為所求；（3）分和兩種情況討論，當時易知最小值大于0，故無解，當時，對m分區間討論即可.

試題解析：（1）時，則，∴. 時， ； 時， ，

∴的單調增區間為， 的單調減區間為.

（2）時， ， ，設.

，∴在上單調遞減，在上單調遞增，且，

又，∴的極大值為.

（3）當時，∵，∴，此時的零點個數為0.

當時， .

若， ， 無解；

若， ，即，在上，

在上單調遞增， 單調遞減，且時， ， ，

∴有且僅有一解.

∴當時， 的零點個數為1.

綜上可得， 時， 的零點個數為0；當時， 的零點個數為1.