【題目】已知函數
，其中
為自然對數的底數，常數
．
（1）求函數
在區間
上的零點個數；
（2）函數
的導數
，是否存在無數個
，使得
為函數
的極大值點？說明理由．
【答案】（1）1（2）存在
【解析】【試題分析】（1）對函數求導后得到函數的單調區間，利用二分法判斷函數在給定區間上只有一個零點.（2）原命題等價于，存在無數個
，使得
成立，求得
的表達式，構造為函數
，利用導數證得
存在負值即可.
【試題解析】
（1）
，當
時， 
單調遞減；當
時， 
單調遞增；
因為
，所以存在
，使
，
且當
時， 
，當
時， 
．
故函數
在區間
上有1個零點，即
．
（2）（法一）當
時， 
．
因為當
時， 
；當
， 
．
由（1）知，當
時， 
；當
時， 
．
下證：當
時， 
，即證
．
，
記
…
，所以
在
單調遞增，
由
，
所以存在唯一零點
，使得
，且
時， 
單調遞減，
時， 
單調遞增．
所以當
時， 
．……
由
，得當
時， 
．
故
．
當
時， 
單調遞增；
當
時， 
單調遞減．
所以存在
，使得
為
的極大值點．
（2）（法二）因為當
時， 
；當
， 
．
由（1）知，當
時， 
；當
時， 
．
所以存在無數個
，使得
為函數
的極大值點，即存在無數個
，使得
成立， ①…由（1），問題①等價于，存在無數個
，使得
成立，
因為
，
記
…
因為
，當
時， 
，所以
在
單調遞增，因為
，
所以存在唯一零點
，使得
，且當
時， 
單調遞減；當
時， 
單調遞增；
所以，當
時， 
， ②…
由
，可得
，代入②式可得
，
當
時， 
，
所以，必存在
，使得
，即對任意
有解，
所以對任意
，函數
存在極大值點為
．…
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程是
（
為參數），以該直角坐標系的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線
的普通方程和直線
的直角坐標方程；
（2）設點
，直線
與曲線
相交于
兩點，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在
范圍內（單位：毫米，以下同），按規定直徑在
內為優質品，現從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數據整理如下：
（1）根據以上統計數據完成下面
列聯表，并回答是否有
以上的把握認為“桔柚直徑與所在基地有關”？
（2）求優質品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數
(同一組數據用該區間的中點值作代表)；
（3）記甲基地直徑在
范圍內的五個桔柚分別為
，現從中任取二個，求含桔柚
的概率.
附： 
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，且點
到橢圓
上任意一點的最大距離為3，橢圓
的離心率為
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)是否存在斜率為
的直線
與以線段
為直徑的圓相交于
、
兩點，與橢圓相交于
、
，且
？若存在，求出直線
的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1， 
，連接CE并延長交AD于F．
（Ⅰ）求證：AD⊥CG；
（Ⅱ）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為拋物線
的焦點，點
為其上一點，
與
關于
軸對稱，直線
與拋物線交于異于
的
兩點，
，
.
（1）求拋物線的標準方程和點的坐標；
（2）判斷是否存在這樣的直線，使得
的面積最小.若存在，求出直線的方程和面積的最小值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在
，
，
，
，
，
（單位：克）中，經統計得頻率分布直方圖如圖所示.
(1)現按分層抽樣從質量為，的芒果中隨機抽取
個，再從這個中隨機抽取
個，記隨機變量
表示質量在內的芒果個數，求的分布列及數學期望.
(2)以各組數據的中間數代表這組數據的平均值，將頻率視為概率，某經銷商來收購芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有
個，經銷商提出如下兩種收購方案：
A：所以芒果以
元/千克收購；
B：對質量低于
克的芒果以
元/個收購，高于或等于克的以元/個收購.
通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年6月深圳地鐵總公司對深圳地鐵1號線30個站的工作人員的服務態度進行了滿意度調查，其中世界之窗、白石洲、高新園、深大、桃園、大新6個站的得分情況如下：
地鐵站 | 世界之窗 | 白石州 | 高新園 | 深大 | 桃園 | 大新 |
滿意度得分 | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 | x |
已知6個站的平均得分為75分.
（1）求大新站的滿意度得分x，及這6個站滿意度得分的標準差；
（2）從表中前5個站中，隨機地選2個站，求恰有1個站得分在區間（68，75）中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程是：
（
是參數，
是常數）.以
為極點，
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線相交于
、
兩點，且
，求實數的值.
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