Question

【題目】已知等比數列{an}滿足a1=2，a2=4（a3﹣a4），數列{bn}滿足bn=3﹣2log2an ．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）令cn= ，求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）若λ＞0，求對所有的正整數n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），

∴a2=4a2（q﹣q2），化為：4q2﹣4q+1=0，解得q= ．

∴an= =22﹣n．

∴bn=3﹣2log2an=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1

（2）解：cn= = = ．

∴數列{cn}的前n項和Sn= [2+322+5×23+…+（2n﹣1）2n]，

∴2Sn= [22+323+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1]，

∴﹣Sn= = ，

可得：Sn=

（3）解：不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n（2n﹣1），

令dn=22﹣2n（2n﹣1），則dn+1﹣dn= ﹣ = = ＜0，

因此dn+1＜dn，即數列{dn}單調遞減，因此n=1時dn取得最大值d1=1．

∵對所有的正整數n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，

∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0．

∴k＜2 ，∵2 ≥2 =2 ，當且僅當λ= 時取等號．

∴ ．

即k的取值范圍是

【解析】（1）設等比數列{an}的公比為q，根據a1=2，a2=4（a3﹣a4），可得a2=4a2（q﹣q2），化簡解得q．可得an ． 利用對數的運算性質可得bn ． （2）cn= = = ．利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn ， 即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n（2n﹣1），令dn=22﹣2n（2n﹣1），通過作差可得：dn+1＜dn ， 即數列{dn}單調遞減，因此n=1時dn取得最大值d1=1．根據對所有的正整數n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，可得2λ2﹣kλ+2＞1，根據λ＞0．可得k＜2 ，再利用基本不等式的性質即可得出．