Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

(1) 求實數的值；

(2) 判斷并用定義證明該函數在定義域上的單調性；

(3) 若方程在內有解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）[-1，3）.

【解析】

(1)根據解得，再利用奇偶性的定義驗證，即可求得實數的值；(2)先對分離常數后，判斷出為遞減函數，再利用單調性的定義作差證明即可；(3)先用函數的奇函數性質，再用減函數性質變形，然后分離參數可得，在內有解，令，只要.

（1）依題意得，，故，此時，

對任意均有，

所以是奇函數，所以.

（2）在上是減函數，證明如下：任取，則

所以該函數在定義域上是減函數．

（3）由函數為奇函數知，

，

又函數是單調遞減函數，從而，

即方程在內有解，

令，只要，

， 且，∴

∴當時，原方程在內有解．