Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，兩焦點之間的距離為4．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右頂點作直線交拋物線y2=4x于A，B兩點，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 焦點在x軸上，

由題意可得2c=4， ．則a=4，c=2．

由b2=a2﹣c2=12，

∴橢圓標準方程為： ．

（2）證明：由（1）可得橢圓的右頂點為（4，0），

由題意得，可設過（4，0）的直線方程為：x=my+4．…（7分）

由 ，消去x得：y2﹣4my﹣16=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ．

∴ ，

則 =0，則 ⊥

故OA⊥OB．

【解析】（1）由題意可得2c=4， ．則a=4，c=2．由b2=a2﹣c2=12，即可求得橢圓的標準方程；（2）過（4，0）的直線方程為：x=my+4，代入拋物線y2=4x，由韋達定理可知： ，則 =x1x2+y1y1=0，即可求證OA⊥OB．