Question

四棱錐底面是菱形，，,分別是的中點.

（1）求證：平面⊥平面；
（2）是上的動點，與平面所成的最大角為，求二面角的正切值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）

試題分析：（1）由已知可得直線AE垂直于BC，即可得到AE垂直于AD，又因為PA垂直于AE.所以可得AE垂直于平面PAD.即可得平面要證平面⊥平面.
（2）通過點E作EG垂直于AF，EQ垂直于AC，連結QG即可證得為所求的二面角的平面角.由與平面所成的最大角為.可得AE=AH.即可得EQ,QG的大小.從求得的正切值，即二面角 的正切值.
（1）設菱形ABCD的邊長為2a，則AE=
,∴AE⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF⊥面PAD.
（2）過E作EQ⊥AC，垂足為Q，過作QG⊥AF，垂足為G，連GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，則∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.
過點A作AH⊥PD，連接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH與面PAD所成的最大角.
∵∠AHE＝，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,PA=2,PC=4a,EQ=,CQ=,GQ=,tan∠EGQ=.