Question

已知f(x)=e^x-t(x+1).
（1）若f(x)≥0對一切正實數x恒成立，求t的取值范圍；
（2）設，且A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁≠x₂)是曲線y=g(x)上任意兩點，若對任意的t≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）求證：(n∈N*).

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）對函數求導數，分離變量得，再設，用導數法判斷的單調性、極值，從而求出的取值范圍；（2）設x₁、x₂是任意的兩實數，且x₁<x_2，
，則，構造函數，則函數在上是增函數，即恒成立，即對任意的t≤-1，x∈R，恒成立，再用均值不等式求的最小值，從而求得；（3）由（1）知，，得，令，放縮得，把
取，則
取，則
而用導數法
（1）(x>0)恒成立.
設(x≥0)，則，
∴在單調遞增，（x=1時取等號），
∴t≤1         4分.
（2）設x₁、x₂是任意的兩實數，且x₁<x_2，
，故，
設，則F(x)在R上單增，（7分）
即恒成立.
即對任意的t≤-1，x∈R，恒成立.
而
故m<3.（9分）
（3）由（1）知，
取，則


∴(n∈N*).（14分）
考點：導數法，分離變量法，放縮法證明不等式.