Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），且滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R）
（I）求該二次函數(shù)的解析式及函數(shù)的零點(diǎn)．
（II）已知函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（I）因?yàn)槎�次函�?shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），所以c=1
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），所以，所以a=
所以二次函數(shù)的解析式為：f（x）=x²+2x+1
由f（x）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)為：-2+，-2-；
（II）因?yàn)楹瘮?shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=-2，
所以由二次函數(shù)的圖象可知：t-1≥-2
∴t≥-1．
分析：（I）利用二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），可求c的值；根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），可求a的值，從而可得二次函數(shù)的解析式；由f（x）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)；
（II）根據(jù)函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=-2，可得t-1≥-2，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．