Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，且，點是中點，現將沿折起，使點到達點的位置.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

第（Ⅰ）問先證平面，由線面垂直證明面面垂直；

第（Ⅱ）問先找垂直關系后建立空間直角坐標系，利用向量法求出兩面的法向量，進而求所成二面角的余弦值.

解：（Ⅰ）證明：∵，，點是中點，

∴，，∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又，∴，

∴，，∴平面，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，

∴即為與平面所成的角，

∴，

∵平面，∴，∴為等腰直角三角形，∴，

故為等邊三角形，

取的中點，連結，則，

∵平面，又平面，

∴平面平面，又平面，

∴平面，

以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖，

設，則，，，，

從而，，

設平面的一個法向量為，

則由得，令得，

又平面的一個法向量，

則，

所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.