Question

（本小題滿分14分）
已知函數，，且
（Ⅰ）求函數的定義域，并證明在定義域上是奇函數；
（Ⅱ）對于恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當，且時，試比較與的大小．

Answer 1

（Ⅰ）函數的定義域為  ，證明略
（Ⅱ）①當時，；②當時，
（Ⅲ）當時，  

解：（Ⅰ）由，解得或，
∴ 函數的定義域為                        …………………2分
當時，

∴ 在定義域上是奇函數。                       …………….4分
（Ⅱ）由時，恒成立，
①當時
∴對恒成立
∴ 在恒成立          ………………………6分
設
則

∴當時，
∴ 在區間上是增函數，
∴                                           …………………………8分
②當時
由時，恒成立，
∴對恒成立
∴ 在恒成立              ………………………9分
設
由①可知在區間上是增函數，
∴                                             …………………………10分
（Ⅲ）∵

∴
當時，，=2，∴
當時，，=6，∴
當時，           …………………………12分
下面證明：當時，
證法一：當時，


∴當時，       …………………………14分
證法二：當時，要證明
只需要證明
（1）當時，，，成立
（2）假設，不等式成立，即
那么
∴
又因為
∴
∴時，不等式成立
綜合（1）和（2），對，且不等式成立
∴當時，   …………………………14分
證法三：∵時，
構造函數


∴當時，
∴在區間是減函數，
∴當時，
∴在區間是減函數，
時，
時，，即
∴當時，    …………………………14分