Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，與坐標軸分別交于A，B兩點，且經過點Q（，1）．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若P（m，n）為橢圓C外一動點，過點P作橢圓C的兩條互相垂直的切線l1、l2，求動點P的軌跡方程，并求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由離心率及橢圓過的點的坐標，及a，b，c之間的關系可得a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（Ⅱ）過P的兩條切線分斜率存在和不存在兩種情況討論，當斜率不存在時，直接由橢圓的方程可得切點A，B的坐標，當切線的斜率存在且不為0時，設過P的切線方程，與橢圓聯立．由判別式等于0可得參數的關系，進而可得PA，PB的斜率之積，進而可得m，n之間的關系，即P的軌跡方程，顯然切線斜率不存在時的點P也在軌跡方程上；因為PA，PB互相垂直，所以三角形PAB的面積為S△ABP|PA||PB|，當且僅當|PA|＝|PB|時取等號，此時得到點P的坐標求解.

（Ⅰ）由題意可得e，1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2，

所以橢圓的方程為：1；

（Ⅱ）設兩個切點分別為A，B，①當兩條切線中有一條斜率不存在時，

即A，B兩點分別位于橢圓的長軸和短軸的端點，此時P的坐標為：（±2，±），

②當兩條切線的斜率存在且不為0時，設過P的切線的方程為：y﹣n＝k（x﹣m），

聯立直線y﹣n＝k（x﹣m）和橢圓的方程，整理可得（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0，

由題意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1k2，

設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1k2，

而PA，PB互相垂直，所以1，

即m2+n2＝6，（m≠±2），

又因為P（±2，）在m2+n2＝6上，

所以點P在圓x+y2＝6上．

因為l1⊥l2，

所以S△ABP|PA||PB|，當且僅當|PA|＝|PB|時取等號，

即P在橢圓的短軸所在的直線上時即P（0，），

由圓及橢圓的對稱性設P（0，），則直線PA的斜率為1，可得直線PA的方程為：y＝x，

代入橢圓的方程可得3x2+4x+8＝0，解得x，y，即A（，），

所以|PA|，所以AB2＝2|PA|2，

所以（S△ABP）max．