Question

已知橢圓C： (a＞b＞0)的離心率為，且經過點P(1，)。
(1)求橢圓C的方程；
(2)設F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為圓心，MF為半徑作圓M。問點M滿足什么條件時，圓M與y軸有兩個交點?
(3)設圓M與y軸交于D、E兩點，求點D、E距離的最大值。   

Answer 1

(1)+=1
(2) -4＜x₀＜
(3)當x₀=-時，DE的最大值為

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及結合圓的知識，求解圓與坐標軸的交點問題，以及直線與圓的位置關系的運用。
解：(1)∵橢圓+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經過點P(1，)，

∴橢圓C的方程為+=1。………       5分
(2)易求得F(1，0)。設M(x₀，y₀)，則+=1，      
圓M的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，
令x=0，化簡得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①。
將y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜..........10分
(3)設D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂。由(2)，得
DE= y₂- y₁===，
當x₀=-時，DE的最大值為