Question

【題目】設a為實數，函數f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（0）≥1，則﹣a|a|≥1 a≤﹣1
（2）解：當x≥a時，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴ ，

如圖所示：

當x≤a時，f（x）=x2+2ax﹣a2，

∴ ．

綜上所述： ．

（3）解：x∈（a，+∞）時，h（x）≥1，

得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2

當a≤﹣ 或a≥ 時，△≤0，x∈（a，+∞）；

當﹣ ＜a＜ 時，△＞0，得：

即

進而分2類討論：

當﹣ ＜a＜﹣ 時，a＜ ，

此時不等式組的解集為（a， ]∪[ ，+∞）；

當﹣ ≤x≤ 時， ＜a＜ ；

此時不等式組的解集為[ ，+∞）．

綜上可得，

當a∈（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）時，不等式組的解集為（a，+∞）；

當a∈（﹣ ，﹣ ）時，不等式組的解集為（a， ]∪[ ，+∞）；

當a∈[﹣ ， ]時，不等式組的解集為[ ，+∞）

【解析】（1）f（0）≥1﹣a|a|≥1再去絕對值求a的取值范圍，（2）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對值，再對每一段分別求最小值，借助二次函數的對稱軸及單調性．最后綜合即可．（3）h（x）≥1轉化為3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因為不等式的解集由對應方程的根決定，所以再對其對應的判別式分三種情況討論求得對應解集即可．
【考點精析】掌握二次函數的性質和解一元二次不等式是解答本題的根本，需要知道當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊．