Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，點(diǎn)D，F分別為BC，AB的中點(diǎn)．

（1）求證：直線(xiàn)DF∥平面PAC；

（2）求證：PF⊥AD．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先根據(jù)中位線(xiàn)，證明DF∥AC，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理可證；

（2）利用線(xiàn)面垂直判定方法證明PF⊥平面ABC，從而可證結(jié)論.

證明：（1）∵點(diǎn)D，F分別為BC，AB的中點(diǎn)，

∴DF∥AC，

又∵DF平面PAC，AC平面PAC，

∴直線(xiàn)DF∥平面PAC．

（2）∵∠PAC=∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，AC⊥AP，

又∵AB∩AP=A，AB，AP在平面PAB內(nèi)，

∴AC⊥平面PAB，

∵PF平面PAB，∴AC⊥PF，

∵PA=PB，F為AB的中點(diǎn)，∴PF⊥AB，

∵AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB=A，AC，AB在平面ABC內(nèi)，

∴PF⊥平面ABC，

∵AD平面ABC，∴AD⊥PF．