Question

【題目】已知f（x）=aln（x2+1）+bx存在兩個極值點x1 ， x2 ．
（1）求證：|x1+x2|＞2；
（2）若實數λ滿足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由f（x）=aln（x2+1）+bx的導數為f′（x）= +b= ，

令g（x）=bx2+2ax+b，由題意可得g（x）=0有兩個不同的非零實根，

得△=4a2﹣4b2＞0，

因此a＞b＞0，

所以 ＞1；

所以x1+x2=﹣ ＜﹣2，

即|x1+x2|＞2

（2）解：由（1）知x1x2=1，

f（x1）+f（x2）+a

=aln[x12x22+（x12+x22）+1]+b（x1+x2）+a

=aln[（x12+x22）+2]+b（x1+x2）+a

=aln[（x1+x2）2]+b（x1+x2）+a

=2aln ﹣a，

由f（x1）+f（x2）+a+λb=0得﹣λ= ln ﹣ ，

設t= ＞2，則﹣λ=tlnt﹣ t，

令h（t）=tlnt﹣ t，t＞2．

h′（t）=1+lnt﹣ =lnt+ ＞0，

h（t）在（2，+∞）是增函數．

因此﹣λ＞2ln2﹣1，

即為λ＜1﹣2ln2

【解析】（1）由f（x）的導數，可設g（x）=f′（x），即有方程g（x）=0有兩個不同的非零實根x1 ， x2 ， 可得 ＞1，結合韋達定理可得結論；（2）若實數λ滿足等式f（x1）+f（x2）+a+λb=0，化簡整理可得﹣λ= ln ﹣ ，設t= ＞2，則﹣λ=tlnt﹣ t，求出右邊函數的導數，判斷單調性，進而可得λ的取值范圍．