Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，且f（x）在區間（-∞，0]上遞減，且有f（a+1）＞f（2a-1），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：該函數是抽象函數，解不等式f（a+1）＞f（2a-1）的關鍵是脫去“f”，可根據偶函數的性質得到函數在[0，+∞）上的單調性，然后根據單調性進行求解．

解答：解：∵f（x）-f（-x）=0
∴函數f（x）是偶函數，
∴f（a+1）=f（|a+1|），f（2a-1）=f（|2a-1|），
  又f（x）在區間（-∞，0]上單調遞減，故函數在[0，+∞）上是增函數
∵f（a+1）＞f（2a-1），
∴f（|a+1|）＞f（|2a-1|）
∴|a+1|＞|2a-1|，
兩邊平方得（a+1）²＞（2a-1）²即a（a-2）＜0
解得0＜a＜2．
實數a的取值范圍0＜a＜2．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性與單調性的綜合應用，同時考查了轉化的數學思想和計算能力，屬于中檔題．