Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則f（2013）=（　　）

• A、0
• B、2013
• C、3
• D、-2013

Answer 1

分析：函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱⇒函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱⇒y=f（x）為R上的偶函數(shù)，從而可求得f（3）=0，繼而得函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，從而可得f（2013）的值．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0，即y軸對稱，
∴y=f（x）為R上的偶函數(shù)，又對任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，
故選：A．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，屬于中檔題．