【題目】設
為平面上
個點的集合，其中任三點不共線，任四點不共圓．一個圓被稱為“好圓”是指中有三個點在圓上，
個點在圓內，個點在圓外．求證：好圓的個數與
有相同的奇偶性．
【答案】見解析
【解析】
考慮
個點對
，設包含點對
的好圓個數為
，則好圓總個數應為
（因為每個圓包含三個點對）．由于與
同奇偶，故只須證明所有均為奇數即可．
對任一點對
，把在下方的任一點，比如說
，在上方作一點
，使
，把下方的所有點通過此種變換變到上方．由于四點不共圓，故上方的所有點對的張角大小互不相同．將除外的
個點按張角從小到大的順序標號
．若此點原來就在上方，則標記“上”；若此點是由原來在下方的點變換而得，則標“下”．由于每個點只和它對的張角的大小有關系，故不妨將個點排成一條與垂直的直線
，張角小的在上．注意到，若過
、
、
三點作圓，則對于那些標有“下”的點來說，若它處于圓內，則變換前必處于圓外，反之亦然．
從而，過點、、
的圓為好圓等價于上方的“上”點數
下方的“下”點數
下方的“上”點數上方的“下”點數
． ①
于是，只須證明：滿足上面條件的有奇數個．
（1）當
均為“上”點，顯然，只有一個點滿足條件，點數為奇數．
此時，“下”點個數為0個．
（2）若
，易知點數為奇數．
對一般的個點：
（i）若1和均標“上”，則1和必同時滿足或不滿足條件．
而由對稱性，可去掉1，兩點，剩下的點原來滿足條件與否等價于現在滿足條件與否．
故可把個點的情形化為
個點的情形（它們的奇偶性相同）．
（ii）若1，兩點中有1個點標“下”，不妨設為1，把點1標的“下”改為“上”，并放到點的下面，標號
，則原來點1滿足式①當且僅當現在點滿足式①，原來
滿足式①當且僅當現在變換后點滿足式①．若是點標“下”，把“下”改為“上”放到點1的上面，情況完全類似．此時，“下”的個數減少1，雖然點數沒變．
故不斷對個點進行操作（i）或（ii），可使得點數不斷減少（每次減少2）或“下”點數不斷減少（每次減少1）．于是，有限步后，必變成無標“下”的點或只有3個點的情形．此時，由（1）、（2）即可獲證．
綜上所述，原命題得證．
快樂5加2金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優秀的學生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調查，統計數據如下：
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
（1）根據上表說明，能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關；
（2）現從參與問卷調查且愿意參加新生接待工作的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生，設選取的3人中女生人數為
，寫出的分布列，并求
．
附：
，其中
．
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
與直線
相切且與圓
外切。
（1）求圓心的軌跡
的方程；
（2）設第一象限內的點
在軌跡上，若
軸上兩點
，
，滿足
且
. 延長
、
分別交軌跡于
、
兩點，若直線
的斜率
，求點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，整理得到數據分組及頻數分布表和頻率分布直方圖：
（1）從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；
（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；
（3）假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數在第幾組（只需寫出結論）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標賽男子團體決賽中，中國隊與韓國隊相遇，中國隊男子選手A，B，C，D，E依次出場比賽，在以往對戰韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比賽勝負相互獨立.賽會釆用5局3勝制，先贏3局者獲得勝利.
（1）在決賽中，中國隊以3∶1獲勝的概率是多少？
（2）求比賽局數的分布列及數學期望.
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