Question

已知常數(shù)，在矩形中，，，為的中點．點分別在上移動，且，為與的交點（如圖）．問是否存在兩個定點，使點到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

當時，點的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點．
當時，點的軌跡為橢圓的一部分，點到該橢圓焦點的距離和定為定值．
當時，點到橢圓兩個焦點，的距離之和為定值．
當時，點到橢圓兩個焦點，的距離之和為定值．

根據(jù)題設條件，首先求出點坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點到兩定點距離的和為定值．按題意有，，，．
設，
因此有，，．
直線的方程為，       ①
直線的方程為．      ②
從①②消去參數(shù)，得點坐標滿足方程，
整理得．
當時，點的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點．
當時，點的軌跡為橢圓的一部分，點到該橢圓焦點的距離和定為定值．
當時，點到橢圓兩個焦點，的距離之和為定值．
當時，點到橢圓兩個焦點，的距離之和為定值．