Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(km/h)是車流密度x(輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/km時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/km時(shí)，車流速度為60km/h，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出其最大值．(精確到1輛/小時(shí))　

Answer 1

（1）v(x)＝（2）車流密度為100輛/km時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/h.

(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b.
再由已知，得解得
故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得f(x)＝
當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；
當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤ ²＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號成立．
所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20，200]上取得最大值.
綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0，200]上取得最大值≈3333，
即當(dāng)車流密度為100輛/km時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/h