Question

求下列函數f(x)的解析式．
(1) 已知f(1－x)＝2x²－x＋1，求f(x)；
(2) 已知f＝x²＋，求f(x)；
(3) 已知一次函數f(x)滿足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(4) 定義在(－1，1)內的函數f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．

Answer 1

（1）f(x)＝2x²－3x＋2（2）f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．

(1) (換元法)設t＝1－x，則x＝1－t，
∴ f(t)＝2(1－t)²－(1－t)＋1＝2t²－3t＋2，
∴ f(x)＝2x²－3x＋2.
(2) (配湊法)∵ f＝x²＋＝²＋2，
∴ f(x)＝x²＋2.
(3) (待定系數法)∵  f(x)是一次函數，∴設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則
f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a²x＋ab＋b.
∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或 
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(4) (消去法)當x∈(－1，1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)