Question

【題目】已知函數 是[1，∞]上的增函數．當實數m取最大值時，若存在點Q，使得過Q的直線與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點Q的坐標為（ ）
A.（0，﹣3）
B.（0，3）
C.（0，﹣2）
D.（0，2）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由 得g′（x）=x2+1﹣ ．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函數，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+1﹣ ≥0在[1，+∞）上恒成立．
設x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+1﹣ ≥0在[1，+∞）上恒成立．
設y=t+1﹣ ，t∈[1，+∞），
∵y′=1+ ＞0，
∴函數y=t+1﹣ 在[1，+∞）上單調遞增，因此ymin=2﹣m．
∵ymin≥0，∴2﹣m≥0，即m≤2．又m＞0，故0＜m≤2．m的最大值為2．
故得g（x）= x3+x﹣2+ ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
將函數g（x）的圖象向上平移2個長度單位，所得圖象相應的函數解析式為φ（x）= x3+2x+ ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（﹣x）=﹣φ（x），
∴φ（x）為奇函數，
故φ（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱．
由此即得函數g（x）的圖象關于點Q（0，﹣2）成中心對稱．
這表明存在點Q（0，﹣2），使得過點Q的直線若能與函數g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．
故選：C．