Question

(1)求證：4×6ⁿ＋5^n＋1－9是20的倍數(n∈N_＋)；
(2)今天是星期一，再過3¹⁰⁰天是星期幾？

Answer 1

(1)見解析    (2) 星期五

(1)證明：4×6ⁿ＋5^n＋1－9＝4·(5＋1)ⁿ＋5·(4＋1)ⁿ－9
＝4(C_n⁰5ⁿ＋C_n¹5^n－1＋…＋C_n^n-15＋1)＋
5(C_n⁰4ⁿ＋C_n¹4^n－1＋…＋C_n^n-14＋1)－9
＝20[(C_n⁰5^n－1＋C_n¹5^n－2＋…＋C_n^n-1)＋(C_n⁰4^n－1＋C_n¹4^n－2＋…＋C_n^n-1)]，故結論成立．
(2)解：∵3¹⁰⁰＝9⁵⁰＝(7＋2)⁵⁰＝C₅₀⁰·7⁵⁰·2⁰＋C₅₀¹·7⁴⁹·2¹＋…＋C₅₀⁴⁹·7·2⁴⁹＋C₅₀⁵⁰·7⁰·2⁵⁰＝7M_n＋2⁵⁰(M_n∈N_＋)，
又2⁵⁰＝2^3×16＋2＝4×8¹⁶＝4(1＋7)¹⁶＝4(C₁₆⁰＋7C₁₆¹＋7²C₁₆²＋…＋7¹⁶C₁₆¹⁶)＝4＋7N_n(N_n∈N_＋)，
∴3¹⁰⁰被7除余數是4，故再過3¹⁰⁰天是星期五．