Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點在上．

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題第一問應用空間的垂直關系的轉換，應用線面垂直得出線線垂直的

關系，第二問根據所給的二面角的大小，結合空間向量，從而確定出

點的位置，再用空間向量確定出線面角的正弦值．

試題解析：（Ⅰ）如圖，設為的中點，連結，則，所以四邊形為平行四邊形，

故，又，

所以，故，

又因為平面，所以，

且，所以平面，故有分

（Ⅱ）如圖，以為原點，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系．

則，

設，易得，

設平面的一個法向量為，則，

令得，即．

又平面的一個法向量為，

由題知，解得，

即，而是平面的一個法向量，

設平面與平面所成的角為，則．

故直線與平面所成的角的正弦值為．分