Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是線段PC上一點，且CE=λCP．

（1）當EG∥平面PAB時，求λ的值；

（2）當直線CP與平面ABE所成角的正弦值為時，求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）取AB的中點D，連結PD，CD，根據線面平行的性質可得EG∥PD，從而得出λ的值；

（2）建立空間坐標系，求出平面ABE的法向量，根據夾角公式得出λ的值．

（1）取AB的中點D，連結PD，CD，

∵AB=BC=AC，G是△ABC重心，

∴G是CD的三等分點，且CG=CD，

∵EG∥平面PAB，EG平面PCD，平面PCD∩平面PAB=PD，

∴EG∥PD，

∴，即λ=．

（2）以A為坐標原點，以AC，AP為y軸，z軸作空間直角坐標系

A﹣xyz，如圖所示：

則A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），

P（0，0，2），E（0，2﹣2λ，2λ），

∴=（0，﹣2，2），=（，1，0），=（0，2﹣2λ，2λ），

設平面ABE的法向量為=（x，y，z），則， =0，

∴，令x=1可得，y=﹣，z=．

∴=（1，﹣，），

∴cos＜，＞===，

∴當直線CP與平面ABE所成角的正弦值為時， =，

∴2=，即28λ2﹣24λ+5=0．

解得λ=或λ=．