Question

【題目】已知函數f（x）的導數滿足f（x）+x＞對x∈R恒成立，且實數x，y滿足xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x），則下列關系式恒成立的是( )

A.B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）

C.D.x﹣y＞sinx﹣siny

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題得f（x）+（x+1）＞0，令g（x）=（x+1）f（x），得到函數的單調性，由

xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x）得到x＞y.再逐一分析判斷每一個選項的正誤得解.

因為f（x）+x＞，

所以f（x）+（x+1）＞0，

令g（x）=（x+1）f（x），

則=f（x）+（x+1）＞0對x∈R恒成立，

∴g（x）在x∈R時單調遞增.

又由題得實數x，y滿足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，

所以g（x）＞g（y），

∴x＞y，

取x=1，y=，則有成立，故A選項錯誤；

又當x=1，y=時，有ln（1+x2）=ln（1+y2），故B選項錯誤；

令h（x），則h′（x），

當x＜1時，＞0，此時h（x）單調遞增，當x＞1時，＜0，此時h（x）單調遞減，當y＜x＜1時，有h（x）＞h（y）成立，即有成立，故C選項錯誤；

令t（x）=xsinx，則=1cosx≥0，此時t（x）單調遞增，

又∵x＞y，∴t（x）＞t（y），

∴x﹣sinx＞y﹣siny，即x﹣y＞sinx﹣siny，故D選項正確.

故選：D