Question

【題目】離心率的橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上.過(guò)點(diǎn)的斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)、，且滿足.

（1）固定，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求橢圓的方程；

（2）若變化，且，試問(wèn)：實(shí)數(shù)和分別為何值時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)，時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最大值.此時(shí)，橢圓方程為

【解析】

設(shè)橢圓方程為.則由，得.

從而，橢圓方程化為.

設(shè)，且與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、.

由，得 ①

聯(lián)立直線和橢圓的方程得.

則，且

， ②

. ③

由式①、②得.

（1）當(dāng)固定時(shí)，

，

其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立.

此時(shí)，.

結(jié)合式①得，.

代入式③得.

此時(shí)，橢圓的方程為.

（2）由式①、②得

，

.

代入式③得

.

由，，得.

易知，當(dāng)時(shí)，是的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.

因此，當(dāng)，時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最大值.此時(shí)，橢圓方程為.