Question

【題目】運行如圖的程序，如果輸入的m，n的值分別是24和15，記錄輸出的i和m的值．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（i﹣4，m），圓C的圓心在直線l：y=2x﹣4上．

（1）若圓C的半徑為1，且圓心C在直線y=x﹣1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使∠OMA=90°，求圓C的半徑r的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意可得，i=4，m=3，∴A（0，3）．

由 得圓心C為（3，2），

∵圓C的半徑為1，∴圓C的方程為：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．

顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx﹣y+3=0，

則 ，即 ，∴2k（4k+3）=0

∴k=0或者 ，

∴所求圓C的切線方程為：y=3或者 ，

即y=3或者3x+4y﹣12=0．

（2）解：依題意，點M在以OA為直徑的圓上，其圓心為D ，半徑為 ，

點M也在圓C上，∴點M是圓D和圓C的公共點，

又圓C的圓心在直線l：y=2x﹣4上，∴要使圓C的半徑最小，只須過點D作直線l的垂線，以垂足為圓心C并與圓D外切時的圓C的半徑r最小，

∵點D到直線l的距離d= ，

∴圓C的半徑r最小值為 ．

【解析】根據題意可得，i=4，m=3，即A（0，3），（1）聯立 得圓心C為（3，2），則圓C的方程為：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx﹣y+3=0，由點到直線的距離公式，可得到k的值，則所求圓C的切線方程可求；（2）依題意，點M在以OA為直徑的圓上，其圓心為D ，半徑為 ，點M也在圓C上，得到點M是圓D和圓C的公共點，又圓C的圓心在直線l：y=2x﹣4上，要使圓C的半徑最小，只須過點D作直線l的垂線，以垂足為圓心C并與圓D外切時的圓C的半徑r最小，由點D到直線l的距離即可得圓C的半徑r最小值．