Question

【題目】已知曲線： ， ： （），從上的點作軸的垂線，交于點，再從點作軸的垂線，交于點.設， ， .

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）記，數列的前項和為，求證： ；

（Ⅲ）若已知（），記數列的前項和為，數列的前項和為，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）依題意點的坐標為，則∴

從而能求出數列的通項公式．
（2）由，知，，當時， ，∴ ．由此能夠證明；

（3）由∵，∴，由知（）

∴（），而，所以可得，

由此能夠比較與的大小．

試題解析：（1）依題意點的坐標為，

∴∴

∴

.

（2）∵，所以： ，

∴當時， ，

∴ （當時取“”）.

（Ⅲ）∵，∴，

由知（）

∴（），而，所以可得，

于是

.

∴

當， 時， ；

當時，

當時，

∴當時，