Question

【題目】已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點．

（1）求的取值范圍；

（2）設兩極值點分別為，，且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數進行求導，根據題意可知方程在上有兩個不同的實數根，可以轉化為兩個函數圖象的交點的個數問題，構造新函數，對新函數進行求導，判斷其單調性及極值進行求解即可；

（2）要證成立，只需證成立，結合（1），即證成立，利用換元法，構造新函數，對新函數進行求導，根據新函數的單調性進行證明即可.

（1）∵函數的定義域為，

∴方程在上有兩個不同的實數根，

即函數與的圖象在上有兩個不同的交點．

又∵，∴當時，；當時，，

故函數在上單調遞增，在上單調遞減，

∴極大值．

又∵有且只有一個零點1，且當時，；當時，．

∴要想函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，只需．

（2）∵要證成立，∴只需證成立，

∵由（1）知，是方程的兩個根，即，，

∴，

∵，∴，

又∵，，作差得，即，

∴，∴當時，要證成立，

即證成立，令，，

即證在上恒成立，

令，∴，

∴當時，，∴函數在上單調遞增，

又∵，∴，在上恒成立，

∴原不等式成立，即當時，成立．