Question

（本題滿分14分）一副三角板（如答卷圖），其中中，AB=AC，， 中，，，現(xiàn)將兩相等長的邊BC、MN重合，并翻折構(gòu)成四面體ABC   D．

（1）當(dāng)平面ABC平面BCD（圖（1））時(shí)，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值；

（2）當(dāng)將平面ABC翻折到使A到B、C、D三點(diǎn)的距離相等時(shí)（圖（2）），

       ①求證：A在平面BCD內(nèi)的射影是BD的中點(diǎn)；

       ②求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

（本小題滿分14分）

       解：（1）過A作AEBC于E，連ED，面ABC面BCD，   

       就是AD與面BCD所成的角----------2分

∵DC=，則BC=，AE=，DE=

       ，

       即AD與面BCD所成角的正弦值為．----------5分

（2）①設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O,連OB、OC、OD，

，

      

       是的外心，即BD邊的中  點(diǎn)．-----------9分

       ②取CD中點(diǎn)F，連OF、AF，由①得A在面BCD內(nèi)的射影為O，

       OF∥BC，∴ OF⊥CD，∴AF⊥CD，

       ∴∠AFO就是二面角A-CD-B的平面角；-----------11分

       ∵,∴,,∴,

       又 ∵

       ∴，∴中，

       即二面角A-CD-B的余弦值為----------------14分