Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，過F的直線交拋物線于A、B的兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），試用x₁，x₂表示點M的坐標．
（Ⅱ）是否為定值，如果是，請求出定值，如果不是，請說明理由．
（III）設△ABM的面積為S，試確定S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導，得出兩點處切線的斜率，寫出兩直線的點斜式方程，求出其交點即得；
（Ⅱ）由題意，表示出兩向量），=（，-），=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，），的坐標，求其內積即可．
（III）根據幾何位置關系表示出三角形的面積，再根據基本不等式求出最值及最值成立的條件即可．
解答：解：由x²=2py，得，故，切線AM的方程為，即①，
切線BM的方程為：即②
由①②聯立解得M的坐標是（，）
（2）F（0，），=（，-），=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，），
•=+（-）③
由A，B，F三點共線得k_AF=k_BF∴，將y₁=，代入整理得x₁x₂=-p²④，
把④代入③得•=0
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面積為S=AB×FM=（，）=（+p）
∵x₁²+x₂²≥2|x₁x₂|
∴x₁²+x₂²≥2p²（當且僅當x₁=-x₂時等號成立）
∴S的最小值是
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，本部分題由于是符號運算，運算量較大，做題時要注意變形準確、正確，免得一誤致全誤勞而無功，求解此類題的關鍵是把幾何位置關系與解析幾何中的相關方程建立起聯系靈活轉化．