Question

【題目】在直三棱柱，，F、E分別是和的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，由//，即可由線線平行推證線面平行；

（2）先推證，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，即可由此求得二面角的余弦值.

（1）證明：連結，在中，F為長方形對角線的交點，

如下圖所示：

∴F為的中點，∴，

又平面，平面，

∴平面

（2）連結，由直三棱柱性質及，得，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

∵，∴，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

以C為坐標原點，射線，，為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

如下圖所示：

，，，，，

設平面的法向量，

則取，得，

設平面的法向量，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

則二面角的余弦值為：

.

故二面角的余弦值為.