Question

【題目】已知函數(且).

(1)判斷函數的奇偶性并說明理由;

(2)是否存在實數,使得當的定義域為時,值域為?若存在,求出實數的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；

(2)存在；.

【解析】

(1)由，可求出的定義域，利用定義法能求出在定義域上為奇函數;

(2)把的定義域為時,值域為轉化為在單調遞減，進一步得到在上有兩個互異實根；令，轉化為關于的不等式組求解.

(1) 由，可得或，

所以的定義域為；

因為，

且；

所以在定義域上為奇函數.

(2)假設存在這樣的實數，使得當的定義域為時,值域為；

由 ，又，，

所以 .

又因為，

所以在單調遞減，

所以在單調遞減，

所以 ，

故，是方程的兩個實數根，

即在上有兩個互異實根；

于是問題轉化為關于的方程 在上有兩個不同的實數根，

令，，

則有 ，解得.

故存在實數，使得當的定義域為時，值域為.