Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 的左焦點為F，離心率為 ，過點F且垂直于長軸的弦長為 ．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設點A，B分別是橢圓的左、右頂點，若過點P（﹣2，0）的直線與橢圓相交于不同兩點M，N．
（i）求證：∠AFM=∠BFN；
（ii）求△MNF面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得 ，

令x=﹣c，可得y=±b =± ，

即有 ，又a2﹣b2=c2，

所以 ．

所以橢圓的標準方程為 ；

（II）方法一、（i）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意；

當AB的斜率不為0時，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為x=my﹣2，

代入橢圓方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，

則△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．

，

可得 =

= ．

則kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；

（ii）

當且僅當 ，即m2=6．（此時適合△＞0的條件）取得等號．

則三角形MNF面積的最大值是 ．

方法二（i）由題知，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為：y=k（x+2），

設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，

則△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以 ．

，

可得

=

∴kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；

（ii） ，

點F（﹣1，0）到直線MN的距離為 ，

即有 = = ．

令t=1+2k2，則t∈[1，2），u（t）= ，

當且僅當 ，即 （此時適合△＞0的條件）時， ，

即 ，則三角形MNF面積的最大值是 ．

【解析】（1）運用橢圓的離心率公式和過焦點垂直于對稱軸的弦長，結合a，b，c的關系解得a，b，可得橢圓的方程；（II）方法一、（i）討論直線AB的斜率為0和不為0，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，運用直線的斜率公式求斜率之和，即可得證；（ii）求得△MNF的面積 ，化簡整理，運用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由題知，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為：y=k（x+2），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由直線的斜率公式，求得即可得證；（ii）求得弦長|MN|，點F到直線的距離d，運用三角形的面積公式，化簡整理，運用換元法和基本不等式，即可得到所求最大值．