Question

【題目】建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為，防洪堤高記為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（）要最�。�

（1）用表示、；

（2）將表示成的函數，如限制在范圍內，最小為多少米？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)，的最小值為.

【解析】

（1）在直角三角形中，利用正弦函數即可求得，再利用梯形的面積，求得.

（2）利用（1）中的結論，即可得到函數的解析式，再根據對勾函數的單調性即可求得函數的最小值.

（1）在直角三角形中，由，

可得，

設，故

由梯形的面積可得：

即

解得

綜上所述：，.

（2）因為

故可得

下證：函數在是單調遞增函數.

任取

則

因為，故；又，故，則

故，即，

故函數在區間上單調遞增.

因為，函數單調遞增，

故.