Question

【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1 .

(1)證明:平面AB1C⊥平面BB1C1C

(2)若AB⊥B1C,直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°,求直線AB1與平面A1B1C 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，從而⊥平面，由此能證明平面⊥平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由直線與平面所成的角為，得，設(shè)，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．

證明：（1）連接交于O，連接AO,側(cè)面為菱形，

∴,，0為的中點(diǎn)，

∴又,⊥平面,平面

∴平面⊥平面

（2）由,,,∴⊥平面ABO，平面ABO, ∴從而AO,OB,兩兩互相垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)?/span>x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz,直線AB與平面所成的角為30°。

設(shè)AO=1，則,又，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形

∴,,,,

,,

設(shè)是平面的法向量，則

令，直線與平面所成的角為

則,

直線與平面所成角的正弦值為.