Question

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是邊長為a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知點M是PD的中點．

(1)證明：PB∥平面AMC；

(2)求直線BD與平面AMC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接BD交AC于點O，由三角形中位線可得OM∥PB. 再根據線面平行判定定理得結論（2）先根據空間直角坐標系，再設立各點坐標，根據方程組解得平面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系得結果．

試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接OM，因為四邊形ABCD為菱形，OB＝OD，又M為PD的中點，所以OM∥PB.

由PB平面AMC，OM平面AMC，所以PB∥平面ACM.

(2)取AB的中點N，連接PN，ND，則∠AND＝90°，

分別以NB，ND，NP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系N－xyz，

則B，C，

A，D，P，M，

則＝，＝.

設平面AMC的法向量為n＝(x，y，z)，

則令y＝，則x＝－1，

z＝－，即n＝.又＝，設直線BD與n所成的角為θ，則cosθ＝＝，故直線BD與平面AMC所成角的正弦值為.