Question

如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE與CD交于P．設存在λ和μ使

AP

=λ

AE

，

PD

=μ

CD

，

AB

=

a

，

BC

=

b

．
（1）求λ及μ；
（2）用

a

，

b

表示

BP

；
（3）求△PAC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據

AP

=λ

AE

=λ(

a

+

2

3

b

)，用基底

a

、

b

 表示出

AP

．再根據

AP

=

AD

+

DP

=

2

3

AB

+

DP

，
用基底

a

、

b

 表示出

AP

．這兩種表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
（2）把

BP

用

BA

+

AP

來表示，把（1）中的結果代入可得用基底

a

、

b

 表 示的

BP

．
（3） 根據面積之比等于對應的向量的長度比求出△PAB和△PBC 的面積，用△ABC的面積減去△PAB和△PBC 的面積
即得△PAC的面積．

解答：解：（1）由于

AB

=

a

，

BC

=

b

，則

AE

=

a

+

2

3

b

，

DC

=

1

3

a

+

b

，

AP

=λ

AE

=λ(

a

+

2

3

b

)，

DP

=μ

DC

=μ(

1

3

a

+

b

)，

AP

=

AD

+

DP

=

2

3

AB

+

DP

，

2

3

a

+μ(

1

3

a

+

b

)=λ(

a

+

2

3

b

)，∴λ=

2

3

+

1

3

μ ①，

2

3

λ=μ ②，
由①②得λ=

6

7

，μ=

4

7

（2）

BP

=

BA

+

AP

=-

a

+

6

7

×(

a

+

2

3

b

)=-

1

7

a

+

4

7

b

．
（3）設△ABC，△PAB，△PBC的高分別為h，h₁，h₂，
h1：h=|

PD

|：|

CD

|=μ=

4

7

，S△PAB=

4

7

S△ABC=8，
h2：h=|

PE

|：|

AE

|=1-λ=

1

7

，S△PBC=

1

7

S△ABC=2，S_△PAC=4．

點評：本題考查向量數乘的運算和幾何意義，把三角形的面積之比轉化為向量的長度比，是解題的難點．