Question

【題目】(本小題滿分12分)已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn)．

（1）若,求外接圓的方程;

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓 相交于兩點(diǎn)、，設(shè)為上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）或；

（II），或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論．

試題解析：解：（1）由題意知：，，又，

解得： 橢圓的方程為：2分

可得：，,設(shè)，則，，

，，即

由 ，或

即，或4分

①當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，， 外接圓是以為圓心，為半徑的圓，即5分

②當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，，，所以為直角三角形，其外接圓是以線段為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，

外接圓的方程為

綜上可知：外接圓方程是，或7分

（2）由題意可知直線的斜率存在．

設(shè)，，，Z|X|X|K]

由得：

由得：（） 9分

，即

，結(jié)合（）得： 11分

，

從而，

點(diǎn)在橢圓上，，整理得：

即，，或13分