Question

設f(x)＝|lg x|，a，b為實數，且0＜a＜b.
(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b滿足f(a)＝f(b)＝2f，
求證：a·b＝1，＞1.

Answer 1

(1) x＝10或  (2)見解析

(1)由f(x)＝1得，lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)證明：結合函數圖象，由f(a)＝f(b)可判斷a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)，

從而－lg a＝lg b，從而ab＝1.
又＝，
令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，
任取1＜b₁＜b₂，
∵φ(b₁)－φ(b₂)＝(b₁－b₂)＜0，
∴φ(b₁)＜φ(b₂)，
∴φ(b)在(1，＋∞)上為增函數．
∴φ(b)＞φ(1)＝2.
∴＞1.