Question

已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設，、是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點．

Answer 1

(1)(2)或(3)見解析

本試題主要是考查了橢圓方程求解以及直線與圓的位置關系的運用，直線與橢圓的位置關系的綜合運用。
（1）因為橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．根據橢圓的性質和線圓的位置關系得到a,b的值。
（2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理得到參數k，然后借助于判別式得到范圍。
（3）設點，則，直線的方程為
令，得，將代入整理，得．得到兩根的關系式，結合韋達定理得到定點。
解：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．………4分
⑵由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為  ①
聯立消去得：，……..6分
由得，……….7分
又不合題意，
所以直線的斜率的取值范圍是或．……….9分
⑶設點，則，直線的方程為
令，得，將代入整理，得．     ②…………….12分
由得①代入②整理，得，
所以直線與軸相交于定點．……….14分