【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）若曲線
在
處的切線
與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）當
時，求證：存在實數(shù)
使
.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：（1）先根據(jù)題意可得
處的切線
的斜率為2，從而求得a（2）對于存在問題可根據(jù)題意賦值驗證，當
時，顯然有
，即存在實數(shù)
使
；當
時分析函數(shù)單調(diào)性，得函數(shù)最小值，若最小值小于1即得證
試題解析：
（Ⅰ）
，
因為曲線
在
處的切線與直線
垂直，
所以切線
的斜率為2，
所以
，
所以
.
（Ⅱ）法1：當
時，顯然有
，即存在實數(shù)
使
；
當
時，由
可得
，
所以在
時， 
，所以函數(shù)
在
上遞減；
時， 
，所以函數(shù)
在
上遞增
所以
是
的極小值.
由函數(shù)
可得
，
由
可得
，
所以
，
綜上，若
，存在實數(shù)
使
.
（Ⅱ）法2：當
時，顯然有
，即存在實數(shù)
使
；
當
時，由
可得
，
所以在
時， 
，所以函數(shù)
在
上遞減；
時， 
，所以函數(shù)
在
上遞增.
所以
是
的極小值.
設
，則
,令
，得
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
所以當
時
，
所以
，
綜上，若
，存在實數(shù)
使
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
在實數(shù)集
上的圖象是連續(xù)不斷的，且對任意實數(shù)
存在常數(shù)
使得
恒成立，則稱
是一個“關(guān)于
函數(shù)”.現(xiàn)有下列“關(guān)于
函數(shù)”的結(jié)論：
①常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于
函數(shù)”；
②正比例函數(shù)必是一個“關(guān)于
函數(shù)”；
③“關(guān)于
函數(shù)”至少有一個零點；
④
是一個“關(guān)于
函數(shù)”.
其中正確結(jié)論的序號是_______.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點
(n∈N*)均在函數(shù)y＝3x－2的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝
，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某大學為調(diào)研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分．
整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以
為組距分成
組： 
， 
， 
， 
， 
， 
，得到A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表：
B餐廳分數(shù)頻數(shù)分布表 | |
分數(shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
定義學生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下：
分數(shù) |
|
|
|
滿意度指數(shù) |
|
|
|
（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評價“滿意度指數(shù)”為
的人數(shù)；
（Ⅱ）從該校在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調(diào)查，試估計其對A餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率；
（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的零點個數(shù)；
（Ⅱ）證明： 
是函數(shù)
存在最小值的充分而不必要條件．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知集合A={1，2，3}，集合B={x|a+1＜x＜6a﹣1}，其中a∈R．
（1）寫出集合A的所有真子集；
（2）若A∩B={3}，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】由大于0的自然數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an}，它的最大項為26，其所有項的和為70；
（1）求數(shù)列{an}的項數(shù)n；
（2）求此數(shù)列．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某鋼廠打算租用
， 
兩種型號的火車車皮運輸900噸鋼材， 
， 
兩種車皮的載貨量分別為36噸和60噸，租金分別為1.6萬元/個和2.4萬元/個，鋼廠要求租車皮總數(shù)不超過21個，且
型車皮不多于
型車皮7個，分別用
， 
表示租用
， 
兩種車皮的個數(shù).
（Ⅰ）用
， 
列出滿足條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
（Ⅱ）分別租用
， 
兩種車皮的個數(shù)是多少時，才能使得租金最少？并求出此最小租金.
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