Question

【題目】設函數（）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若關于x的方程有唯一的實數解，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，遞增區間時，無遞減區間，當時，遞增區間時，遞減區間時；（2）或.

【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標準，若不恒成立，求解，即可得出結論；

（2）有解，即，令，轉化求函數只有一個實數解，根據（1）中的結論，即可求解.

（1），

當時，恒成立，

當時，，

綜上，當時，遞增區間時，無遞減區間，

當時，遞增區間時，遞減區間時；

（2），

令，原方程只有一個解，只需只有一個解，

即求只有一個零點時，的取值范圍，

由（1）得當時，在單調遞增，

且，函數只有一個零點，原方程只有一個解，

當時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，

當時，，此時函數只有一個零點，

原方程只有一個解，

當且

遞增區間時，遞減區間時；

，當，

有兩個零點，

即原方程有兩個解，不合題意，

所以的取值范圍是或.