Question

【題目】已知如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。

（Ⅰ）求證：AE平面BCD；

（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；

（Ⅲ）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫出結果，不要求過程）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5

【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD;

（Ⅱ）以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;

（Ⅲ）利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積，再作比寫出答案即可．

（Ⅰ）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，

又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE平面ABD，

∴AE⊥平面BCD．

（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，

由題意知EF⊥BD，又AE⊥BD，

如圖，以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系E-xyz，

設AB=BD=DC=AD=2，
則BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，

則E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），
F（，0，0），C（，2，0），

，，

由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個法向量為，

設平面ADC的一個法向量，

則，取x=1，得，

∴，

∴二面角A-DC-B的平面角為銳角，故余弦值為．
（Ⅲ）三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為：1:5.