Question

已知函數，函數g(x)的導函數，且
（1）求的極值；
（2）若，使得成立，試求實數m的取值范圍：
（3）當a=0時，對于，求證：

Answer 1

（1）當a≥0時,沒有極值；當a＜0時，取得極大值=;（2）；（3）見解析.

解析試題分析：（1）求函數定義域、導數，按照a≥0，a＜0兩種情況討論的符號變化，由極值定義可求得的極值；（2）先由條件求出，存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．令=，x∈（0，+∞），則問題等價于m＜，利用基本不等式可判定導數研究的正負時，從而判定出函數的單調性，從而可求得；（3）當a=0時，先將具體化為，令==，利用導數通過研究的單調性、極值，從而得出函數的圖像性質，求出的最小值，只要證明最小值大于零即證明了.
試題解析： （1）函數的定義域為（0，+∞），=（＞0）．
（i）當a≥0時，＞0，
函數在（0，+∞）上單調遞增，故沒有極值；
（ii）當a＜0時，==，
當x∈（0，﹣）時，＞0；當x∈（﹣，+∞）時，＜0，
∴當x=﹣時，取得極大值=．
（2）∵函數的導函數=，
∴=+c（其中c為常數）
由，得(1+c)e=e，故c=0，
∴=．
若存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．
令=，x∈（0，+∞），則問題等價于m＜，
∴=1﹣，
∵當x∈（0，+∞）時，＞1，≥=，
∴＞1，故＜0，
∴在（0，+∞）上單調遞減，
∴＜=3，故m＜3．
（3）解：當a=0時，=lnx，
令=﹣﹣2=