Question

【題目】已知過(guò)的動(dòng)圓恒與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為是該圓的直徑．

（Ⅰ）求點(diǎn)軌跡的方程；

（Ⅱ）當(dāng)不在y軸上時(shí)，設(shè)直線與曲線交于另一點(diǎn)，該曲線在處的切線與直線交于點(diǎn)．求證: 恒為直角三角形．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ，點(diǎn)是點(diǎn)在 軸射影的中點(diǎn)，即 ，根據(jù)幾何關(guān)系可知 ，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的坐標(biāo)表示即為軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為 與拋物線方程聯(lián)立，交于兩點(diǎn)，設(shè) ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求和兩點(diǎn)的直線斜率求 ,證明 ，即說(shuō)明是直角三角形.

試題解析：(Ⅰ) 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為．

因?yàn)?/span>是直徑，所以，或、均在坐標(biāo)原點(diǎn)．

因此 ,而 ， ，

故有，即，

另一方面，設(shè)是曲線上一點(diǎn)，

則有，

中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

故以為直徑的圓與 軸相切．

綜上可知點(diǎn)軌跡的方程為．

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，

由得：

設(shè) ，則有．

由對(duì)求導(dǎo)知，

從而曲線E在P處的切線斜率，

直線的斜率，

于是 ．

因此

所以恒為直角三角形．