Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， ，并且交橢圓于點(diǎn).

①是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

②求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）存在點(diǎn)滿足題設(shè)；（ii）.

【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件建立方程組求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解.

試題解析：

（1）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以，又，所以.

又因?yàn)?/span>，

所以橢圓的方程為.

（2）（i）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，則，消去，得.

所以，解得，

當(dāng)時， ，

所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

直線的方程為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，

則，即恒成立，

所以恒成立，

所以，即，

因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（ii）因?yàn)?/span>，所以的方程可設(shè)為，

由，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

由，得

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

所以當(dāng)時， 的最小值為.