Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明?x₀∈（x₁，x₂），使f(x0)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤

1

2

(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將x=-1代入得到關于a、b、c的關系式，再由△確定零點個數．
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]，再由函數零點的判定定理可證．
（3）假設存在a，b，c∈R使得條件成立，由①可知函數f（x）的對稱軸是x=-1，且最小值為0，由此可知a=c；由②知將x=1代入可求的a=c=

1

4

，b=

1

2

，最后驗證即可．

解答：解析：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
當a=c時△=0，函數f（x）有一個零點；
當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點．
（2）令g(x)=f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]，則g(x1)=f(x1)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

f(x1)-f(x2)

2

g(x2)=f(x2)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

f(x2)-f(x1)

2

，
∴g(x1)•g(x2)=-

1

4

[f(x1)-f(x2)]2＜0，(∵f(x1)≠f(x2))
∴g（x）=0在（x₁，x₂）內必有一個實根．即?x₀∈（x₁，x₂），使f(x0)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）假設a，b，c存在，由①知拋物線的對稱軸為x=-1，且f（x）_min=0
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=0?b=2a，b²=4ac?4a²=4ac?a=c
由②知對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤

1

2

(x-1)2
令x=1得0≤f（1）-1≤0?f（1）-1=0?f（1）=1?a+b+c=1
由

a+b+c=1 b=2a a=c

得a=c=

1

4

，b=

1

2

，
當a=c=

1

4

，b=

1

2

時，f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2，其頂點為（-1，0）滿足條件①，又f(x)-x=

1

4

(x-1)2?對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤

1

2

(x-1)2，滿足條件②．
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足條件①、②．

點評：本題主要考查函數零點的判斷定理．