Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的最小正周期；

（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數的圖象，且函數的最大值為2．

（ⅰ）求函數的解析式； （ⅱ）證明：存在無窮多個互不相同的正整數，使得．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）因為

．

所以函數的最小正周期．

（Ⅱ）（Ⅰ）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個單位長度后得到的圖象．

又已知函數的最大值為，所以，解得．

所以．

（Ⅱ）要證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得，即．

由知，存在，使得．

由正弦函數的性質可知，當時，均有．

因為的周期為，

所以當（）時，均有．

因為對任意的整數，，

所以對任意的正整數，都存在正整數，使得．

亦即存在無窮多個互不相同的正整數，使得．